Число, которое может быть рациональным и иррациональным, называется действительным, поэтому этот набор чисел представляет собой объединение набора рациональных чисел (дробей) и набора иррациональных чисел (их нельзя выразить дробью). Действительные числа покрывают действительную линию, и любая точка на этой строке является действительным числом, и они обозначены символом R.
Характеристики действительных чисел:
- Набор действительных чисел - это набор всех чисел, которые соответствуют точкам на линии.
- Набор действительных чисел - это набор всех чисел, которые могут быть выражены с помощью периодических или непериодических бесконечных или конечных десятичных знаков.
Иррациональные числа отличаются от рациональных чисел тем, что у них бесконечное количество десятичных разрядов, которые никогда не повторяются, то есть они не периодичны. Следовательно, они не могут быть представлены как дробь двух целых чисел. Некоторые иррациональные числа выделяются символами. Например: ℮ = 2,7182, π = 3,1415926535914039.
В реальной строке реальные числа обозначены символами, каждая точка линии имеет действительное число, а каждое действительное число имеет точку на строке, как следствие, невозможно говорить о следующем действительном числе, как в случае натуральные числа. Рациональные числа размещены на числовой прямой таким образом, что в каждом разделе, каким бы маленьким он ни был, есть бесконечности. Однако, как ни странно, существуют бесконечные пробелы, заполненные иррациональными числами. Следовательно, между любыми двумя действительными числами, X и Y, есть рациональные бесконечности и иррациональные бесконечности, между ними они заполняют линию.
Операции с действительными числами:
То, как вы выполняете операции с действительными числами, зависит от того, как числа представлены. Если все операнды - рациональные числа, операции выполняются с использованием дробей. Если вам нужно работать с иррациональными числами, единственный способ обработать точные значения - это оставить их как есть. Если необходимо ввести в действие численно, необходимо будет использовать его десятичные представления, и, поскольку они являются бесконечными десятичными знаками, результат может быть дан только в точном виде.
Подход по умолчанию или по превышению:
Аппроксимация иррациональных чисел в их десятичном представлении может быть:
- По умолчанию: если значение, которое нужно приблизить, меньше числа.
- По превышению: если приближаемое значение больше
Например, для числа π приближения по умолчанию: 3 <3,1 <3,14 <3,141 и превышение 3,1416 <3,142 <3,15 <3,2. Приближение округления или усечения:
Значимые числа - это все те, которые используются для выражения приблизительного числа, есть два способа приблизить числа:
Округлением: если первая незначимая цифра 0,1,2,3,4, предыдущая остается прежней, с другой стороны, если она равна 5,6,7,8,9, предыдущая цифра увеличивается на одну единицу, например: 3, 74281 ≈ 3,74 и 4,29612 ≈ 4,30.
Аппроксимация усечения: незначащие цифры удаляются, например: 3,74281≈3,74 и 4,29612 ≈ 4,29.
Научная нотация:
Если вы хотите выразить очень большие или очень маленькие действительные числа, используется научная запись:
- Целая часть, состоящая из одной цифры, которая не может быть 0.
- Все остальные значащие цифры записываются в виде десятичной части.
- Мощность базовых десять, что дает порядок величины числа.
Важно подчеркнуть, что в экспоненциальной форме, если показатель положительный, число большое, а если отрицательное, то число маленькое, например: 6,25 x 1011 = 625 000 000 000.
