Комбинация букв, знаков и чисел в математических операциях известна как алгебраические выражения. Обычно буквы обозначают неизвестные величины и называются переменными или неизвестными. Алгебраические выражения позволяют переводить в выражения математического языка обычного языка. Алгебраические выражения возникают из-за обязанности переводить неизвестные значения в числа, представленные буквами. Раздел математики, ответственный за изучение этих выражений, в которых встречаются числа и буквы, а также знаки математических операций, - это алгебра.
Что такое алгебраические выражения
Содержание
Как упоминалось ранее, эти операции представляют собой не что иное, как сочетание букв, цифр и знаков, которые впоследствии используются в различных математических операциях. В алгебраических выражениях буквы имеют поведение чисел, и когда они принимают этот курс, используются от одной до двух букв.
Независимо от того, какое выражение у вас есть, первое, что нужно сделать, - это упростить, это достигается с помощью свойств операции (операций), которые эквивалентны числовым свойствам. Чтобы найти числовое значение алгебраической операции, вы должны заменить букву определенным числом.
С этими выражениями можно сделать много упражнений, и они будут выполнены в этом разделе, чтобы улучшить понимание предмета, о котором идет речь.
Примеры алгебраических выражений:
- (Х + 5 / Х + 2) + (4Х + 5 / Х + 2)
Х + 5 + 4Х + 5 / Х + 2
5Х + 10 / Х + 2
5 (Х + 2) / Х + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Алгебраический язык
Алгебраический язык - это язык, который использует символы и буквы для представления чисел. Его основная функция - создать и структурировать язык, который помогает обобщать различные операции, которые происходят в арифметике, где выполняются только числа и их элементарные арифметические операции (+ -x%).
Алгебраический язык направлен на создание и разработку языка, который помогает обобщать различные операции, разработанные в рамках арифметики, где используются только числа и их основные математические операции: сложение (+), вычитание (-), умножение (x) и деление (/).
Алгебраический язык отличается своей точностью, поскольку он гораздо более конкретен, чем язык чисел. С его помощью можно кратко выразить предложения. Пример: набор, кратный 3 (3, 6, 9, 12…), выражается как 3n, где n = (1, 2, 3, 4…).
Он позволяет выражать неизвестные числа и выполнять с ними математические операции. Например, сумма двух чисел выражается так: a + b. Поддерживает выражение общих числовых свойств и соотношений.
Пример: свойство коммутативности выражается так: axb = bx a. При записи на этом языке неизвестными величинами можно манипулировать с помощью простых символов для записи, что позволяет упрощать теоремы, формулировать уравнения и неравенства и изучать способы их решения.
Алгебраические знаки и символы
В алгебре в теории множеств используются как символы, так и знаки, которые составляют или представляют уравнения, ряды, матрицы и т. Д. Буквы выражаются или называются переменными, поскольку одна и та же буква используется в других задачах, и ее значение находит разные переменные. Некоторые из классификационных алгебраических выражений включают следующее:
Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь - это дробь, представленная частным двух многочленов, поведение которых аналогично числовым дробям. В математике вы можете оперировать этими дробями, выполняя умножение и деление. Следовательно, необходимо выразить, что алгебраическая дробь представлена частным двух алгебраических выражений, где числитель является делимым, а знаменатель - делителем.
Среди свойств алгебраических дробей можно выделить, что если знаменатель разделить или умножить на ту же ненулевую величину, дробь не изменится. Упрощение алгебраической дроби состоит в ее преобразовании в дробь, которую нельзя больше уменьшить, поскольку необходимо разложить на множители многочлены, составляющие числитель и знаменатель.
Классификационные алгебраические выражения отражаются в следующих типах: эквивалентные, простые, правильные, неправильные, состоящие из числителя или нулевого знаменателя. Потом мы увидим каждого из них.
Эквиваленты
С этим аспектом сталкиваются, когда перекрестное произведение одинаковое, то есть когда результат дробей одинаков. Например, из этих двух алгебраических дробей: 2/5 и 4/10 будут эквивалентны, если 2 * 10 = 5 * 4.
просто
Это те, в которых числитель и знаменатель представляют собой целые рациональные выражения.
Своя
Это простые дроби, у которых числитель меньше знаменателя.
Неправильный
Это простые дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю.
Композитный
Они состоят из одной или нескольких дробей, которые могут находиться в числителе, знаменателе или в обоих.
Нулевой числитель или знаменатель
Происходит при значении 0. В случае наличия дроби 0/0 это будет неопределенным. При использовании алгебраических дробей для выполнения математических операций необходимо учитывать некоторые характеристики операций с числовыми дробями, например, для начала необходимо найти наименьшее общее кратное, когда знаменатели имеют разные цифры.
Как при делении, так и при умножении операции выполняются так же, как и с числовыми дробями, поскольку они должны быть предварительно упрощены, когда это возможно.
Мономы
Мономы - это широко используемые алгебраические выражения, которые имеют константу, называемую коэффициентом, и буквальную часть, которая представлена буквами и может быть возведена в различные степени. Например, моном 2x² имеет коэффициент 2, а x² - буквальную часть.
В некоторых случаях буквальная часть может состоять из умножения неизвестных, например, в случае 2xy. Каждая из этих букв называется неопределенной или переменной. Моном - это тип многочлена с одним членом, кроме того, есть возможность оказаться перед аналогичными одночленами.
Элементы одночленов
Учитывая моном 5x ^ 3; Выделяют следующие элементы:
- Коэффициент: 5
- Буквальная часть: x ^ 3
Произведение мономов - это коэффициент, который относится к числу, которое появляется при умножении буквальной части. Обычно ставится в начале. Если произведение мономов имеет значение 1, оно не записывается и никогда не может быть нулевым, поскольку все выражение будет иметь нулевое значение. Если есть что-то, что нужно знать о мономиальных упражнениях, так это то, что:
- Если у монома нет коэффициента, он равен единице.
- Если какой-либо член не имеет показателя степени, он равен единице.
- Если какой-либо буквальной части нет, но она обязательна, она считается с нулевым показателем степени.
- Если ничто из этого не согласуется, значит, вы имеете дело не с мономиальными упражнениями, вы даже можете сказать, что такое же правило существует с упражнениями между полиномами и мономами.
Сложение и вычитание одночленов
Чтобы можно было суммировать два линейных монома, необходимо сохранить линейную часть и сложить коэффициенты. При вычитании двух линейных одночленов линейная часть должна сохраняться, как в суммах, чтобы можно было вычесть коэффициенты, затем коэффициенты умножаются, а показатели степени складываются с одинаковыми основаниями.
Умножение одночленов
Это моном, коэффициент которого является произведением или результатом коэффициентов, у которых есть буквальная часть, полученная путем умножения степеней с точно таким же основанием.
Деление одночленов
Это не что иное, как еще один одночлен, коэффициент которого является частным от полученных коэффициентов, которые, кроме того, имеют буквальную часть, полученную от делений между степенями, имеющими точно такое же основание.
Полиномы
Когда мы говорим о полиномах, мы имеем в виду алгебраические операции сложения, вычитания и упорядоченного умножения, состоящие из переменных, констант и показателей степени. В алгебре многочлен может иметь более одной переменной (x, y, z), константы (целые числа или дроби) и показатели степени (которые могут быть только положительными целыми числами).
Многочлены состоят из конечных членов, каждый член - это выражение, которое содержит один или несколько из трех элементов, из которых они состоят: переменные, константы или показатели. Например: 9, 9x, 9xy - все термины. Другой способ идентифицировать термины - это их разделение путем сложения и вычитания.
Чтобы решить, упростить, сложить или вычесть многочлены, вы должны объединить термы с теми же переменными, что и, например, члены с x, члены с y и члены без переменных. Кроме того, важно смотреть на знак перед термином, который определяет, следует ли складывать, вычитать или умножать. Термины с одинаковыми переменными группируются, складываются или вычитаются.
Типы многочленов
Количество членов многочлена будет указывать, какой это тип многочлена, например, если есть одночленный многочлен, то он обращен к одночлену. Наглядный пример этого - одно из упражнений с многочленами (8xy). Существует также двухчленный многочлен, который называется биномом и идентифицируется следующим примером: 8xy - 2y.
Наконец, многочлен из трех членов, которые известны как трехчлены и идентифицируются одним из полиномов упражнений 8xy - 2y + 4. Триномы - это тип алгебраического выражения, образованного суммой или разностью трех членов или одночлены (аналогичные одночлены).
Также важно говорить о степени полинома, потому что, если это единственная переменная, это самый большой показатель. Степень полинома с более чем одной переменной определяется членом с наибольшим показателем.
Сложение и вычитание многочленов
Добавление полиномов включает объединение членов. Подобные термины относятся к одночленам, у которых одна и та же переменная или переменные возведены в одинаковую степень.
Существуют разные способы выполнения полиномиальных вычислений, в том числе суммы полиномов, которые можно выполнить двумя разными способами: по горизонтали и по вертикали.
- Сумма полиномов по горизонтали: она используется для выполнения операций по горизонтали, избыточность того стоит, но сначала пишется многочлен, а затем следуют за ним в той же строке. После этого записывается другой многочлен, который будет добавлен или вычтен, и, наконец, схожие члены группируются.
- Вертикальная сумма многочленов: это достигается записью первого многочлена в упорядоченном виде. Если это неполно, важно оставить пробелы в недостающих терминах свободными. Затем следующий многочлен записывается чуть ниже предыдущего, таким образом, термин, аналогичный приведенному выше, будет ниже. Наконец, добавляется каждый столбец.
Важно добавить, что для сложения двух многочленов необходимо сложить коэффициенты членов одной степени. Результатом сложения двух членов одной степени является другой член той же степени. Если какой-либо член отсутствует в какой-либо из степеней, он может быть дополнен нулем. И они обычно упорядочиваются от высшей до низшей.
Как упоминалось выше, для суммирования двух многочленов необходимо складывать только члены одной степени. Свойства этой операции состоят из:
- Ассоциативные свойства: в котором сумма двух многочленов решается путем добавления коэффициентов, которые сопровождают x, возрастающие в той же степени.
- Коммутативное свойство: изменяет порядок добавления, и результат не может быть выведен. Нейтральные элементы, у которых все коэффициенты равны 0. Когда к нейтральному элементу добавляется многочлен, результат равен первому.
- Противоположное свойство: формируется полиномом, который имеет все коэффициенты, обратные совокупности коэффициентов полинома. таким образом, при выполнении операции сложения результатом является нулевой многочлен.
Что касается вычитания многочленов (операций с многочленами), необходимо сгруппировать одночлены по характеристикам, которыми они обладают, и начать с упрощения тех, которые были похожи. Операции с многочленами выполняются путем прибавления противоположности вычитаемого к уменьшаемому.
Еще один эффективный способ продолжить вычитание многочленов - записать противоположность каждого многочлена под другим. Таким образом, похожие одночлены остаются в столбцах, и мы приступаем к их добавлению. Неважно, какая техника выполняется, в итоге результат всегда будет одинаковым, конечно, если все сделано правильно.
Умножение многочленов
Умножение одночленов или упражнения между многочленами и одночленами, это операция, которая выполняется для нахождения результирующего произведения между одночленом (алгебраическое выражение, основанное на умножении числа и буквы, возведенной в положительный целочисленный показатель степени) и другим выражение, если это независимый член, другой одночлен или даже многочлен (конечная сумма одночленов и независимых членов).
Однако, как и почти все математические операции, умножение многочленов также включает в себя ряд шагов, которые необходимо выполнить при решении предлагаемой операции, которые можно резюмировать в следующих процедурах:
Первое, что нужно сделать, это умножить одночлен на его выражение (умножить знаки каждого его члена). После этого значения коэффициентов умножаются, и когда значение найдено в этой операции, добавляется литерал одночленов, найденных в терминах. Затем каждый результат записывается в алфавитном порядке и, наконец, добавляется каждая экспонента, которая находится в базовых литералах.
Полиномиальное деление
Также известен как метод Руффини. Это позволяет нам разделить многочлен на двучлен, а также позволяет нам находить корни многочлена, чтобы разложить его на двучлены. Другими словами, этот метод позволяет разделить или разложить алгебраический многочлен степени n на алгебраический двучлен, а затем на другой алгебраический многочлен степени n-1. И для того, чтобы это было возможно, необходимо знать или знать хотя бы один из корней уникального многочлена, чтобы разделение было точным.
Это эффективный метод деления многочлена на двучлен вида x - r. Правило Руффини - это частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным множителем. Метод Руффини был описан итальянским математиком, профессором и врачом Паоло Руффини в 1804 году, который, помимо изобретения известного метода, называемого правилом Руффини, помогает находить коэффициенты результата дробления многочлена на биномиальный; Он также открыл и сформулировал эту технику приближенного вычисления корней уравнений.
Как всегда, когда дело доходит до алгебраической операции, правило Руффини включает в себя серию шагов, которые должны быть выполнены для достижения желаемого результата, в данном случае: найти частное и остаток, присущие делению любого типа многочлена и бином вида x + r.
Прежде всего, при запуске операции выражения должны быть проверены, чтобы проверить или определить, действительно ли они обрабатываются как полиномы и биномы, которые отвечают на ожидаемую форму методом правила Руффини.
После проверки этих шагов полином упорядочивается (в порядке убывания). После этого шага учитываются только коэффициенты членов многочлена (с точностью до независимого), размещая их в ряд слева направо. Оставлены пробелы для необходимых членов (только в случае неполного полинома). Знак гранки помещается слева от строки, составленной из коэффициентов полинома делимого.
В левой части галереи мы переходим к размещению независимого члена бинома, который теперь является делителем и имеет обратный знак. Независимый умножается на первый коэффициент многочлена, таким образом регистрируясь во второй строке ниже первой. Затем второй коэффициент и произведение мономиального независимого члена вычитаются на первый коэффициент.
Независимый член бинома умножается на результат предыдущего вычитания. Но кроме того, он помещен во второй ряд, что соответствует четвертому коэффициенту. Операция повторяется до тех пор, пока не будут достигнуты все сроки. Третья строка, полученная на основе этих умножений, берется как частное, за исключением последнего члена, который будет рассматриваться как остаток от деления.
Результат выражается вместе с каждым коэффициентом переменной и соответствующей ему степенью, начиная выражать их с более низкой степенью, чем та, которую они имели изначально.
- Теорема об остатке: это практический метод, который используется для деления многочлена P (x) на другой, имеющий форму xa; в котором получается только значение остатка. Чтобы применить это правило, выполняются следующие шаги. Полиномиальное делимое записывается без завершения или упорядочивания, затем переменная x делимого заменяется противоположным значением независимого члена делителя. И, наконец, операции решаются комплексно.
Теорема об остатке - это метод, с помощью которого мы можем получить остаток от алгебраического деления, но в котором нет необходимости делать какое-либо деление.
- Метод Руффини: метод или правило Руффини - это метод, который позволяет нам разделить многочлен на бином, а также позволяет нам находить корни многочлена, чтобы разложить их на множители. Другими словами, этот метод позволяет разделить или разложить алгебраический многочлен степени n на алгебраический двучлен, а затем на другой алгебраический многочлен степени n-1. И для того, чтобы это было возможно, необходимо знать или знать хотя бы один из корней уникального многочлена, чтобы разделение было точным.
- Корни многочленов: корни многочлена - это определенные числа, которые делают многочлен равным нулю. Мы также можем сказать, что полные корни многочлена целых коэффициентов будут делителями независимого члена. Когда мы решаем многочлен, равный нулю, мы получаем корни многочлена как решения. В качестве свойств корней и множителей многочленов мы можем сказать, что нули или корни многочлена являются делителями независимого члена, принадлежащего многочлену.
Это позволяет нам узнать остаток от деления полинома p (x), например, на другой полином xa. Из этой теоремы следует, что многочлен p (x) делится на xa, только если a является корнем многочлена, только тогда и только тогда, когда p (a) = 0. Если C (x) является частным и R (x) - это остаток от деления любого полинома p (x) на бином, который был бы (xa) числовым значением p (x), для x = a он равен остатку от его деления на xa.
Тогда мы скажем, что: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). В общем, чтобы получить остаток от деления на Xa, удобнее применить правило Руффини, чем заменять x. Поэтому теорема об остатке - наиболее подходящий метод для решения задач.
В математическом мире правило Руффини - это эффективный метод деления многочлена на двучлен вида x - r. Правило Руффини - это частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным множителем.
Метод Руффини был описан итальянским математиком, профессором и врачом Паоло Руффини в 1804 году, который, помимо изобретения знаменитого метода, называемого правилом Руффини, помогает находить коэффициенты результата дробления полинома с помощью биномиальный; Он также открыл и сформулировал эту технику приближенного вычисления корней уравнений.
Тогда каждому корню, например, типа x = a соответствует бином типа (xa). Можно выразить многочлен в множителях, если мы выразим его как произведение или всех биномов типа (xa), которые соответствуют корням x = a, полученным в результате. Следует учесть, что сумма показателей биномов равна степени полинома, также следует учитывать, что любой многочлен, не имеющий независимого члена, будет допускать в качестве корня x = 0, по-другому - допускать в качестве Икс фактор.
Мы будем называть полином «простым» или «неприводимым», когда нет возможности разложить его на множители.
Чтобы углубиться в предмет, мы должны четко понимать основную теорему алгебры, которая гласит, что достаточно, чтобы многочлен от непостоянной переменной и комплексных коэффициентов имел столько корней, сколько его степень, поскольку корни имеют свою кратность. Это подтверждает, что любое алгебраическое уравнение степени n имеет n комплексных решений. Многочлен степени n имеет не более n действительных корней.
Примеры и упражнения
В этом разделе мы разместим некоторые решенные упражнения на алгебраические выражения по каждой из тем, затронутых в этом посте.
Упражнения по алгебраическим выражениям:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Сумма полиномов
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Вычитание многочленов
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Полиномиальное деление
- 8 а / 2 а = (8/2). (А / а) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 и
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. х / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Алгебраические выражения (бином в квадрате)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 х + 9
Теорема об остатке
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34-3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Умножение одночленов
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Деление одночленов
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 и
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6-6
v2. c. х / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Сложение и вычитание одночленов
Упражнение: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Решение: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
